O que é Estatística ?

Origem da Estatística

O que modernamente se conhece como Ciências Estatísticas, ou simplesmente Estatísticas, é um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que entre outros tópicos envolve o planejamento do experimento a ser realizados, a coleta qualificada dos dados, a inferência, o processamento, a análise e a disseminação das informações.
O desenvolvimento e o aperfeiçoamento de técnicas estatísticas de obtenção e análise de informações permite o controle e o estudo adequado de fenômenos, fatos, eventos e ocorrências em diversas áreas do conhecimento. A Estatística tem por objetivo fornecer métodos e técnicas para lidarmos, racionalmente, com situações sujeitas a incertezas.

HP

MÉDIA ARITMÉTICA

Média aritmética de dois ou mais termos é o quociente do resultado da divisão da soma 
dos números dados pela quantidade de números somados

Exercícios

1.Calcule a média aritmética de um aluno que tirou notas 5, 7, 9 e 10 em quatro provas.

Ma= (5+7+9+10)/4=7,75

2. O time de futebol do Cruzeiro de Minas Gerais,  fez 6 partidas amistosas, obtendo os seguintes resultados, 4 x 2, 4 x 3, 2 x 5, 6 x 0, 5 x 3, 2 x 0. Qual a média de gols marcados nestes amistosos?

            Ma=(4+4+2+6+5+2)/6=3,8
3. Calcule a média aritmética entre os números 12, 4, 5, 7.

            Ma=(12+4+5+7)/4=7

Observe o que foi feito, somamos os quatro número e dividimos pela quantidade de números.

                                                       MÉDIA GEOMÉTRICA

A média geométrica de uma amostra é definida com a raiz enésima do produto nos N valores amostrais. Para calcular a média geométrica entre números devemos realizar a multiplicação entre eles, em seguida extrair a raiz com o índice igual ao número de fatores utilizados na multiplicação, ou seja para calcularmos a média geométrica entre números devemos realizar a multiplicação entre eles e, logo em seguida, extrair a raiz com índice igual ao número de fatores utilizados na multiplicação.

 Exemplos

1. Calcule a média geométrica dos números 2, 4 e 6.

A média geométrica é muito utilizada nas situações envolvendo aumentos sucessivos.

2. Para se calcular um aumento de salário sucessivo de 15% no primeiro mês, 12% no segundo mês e 21% no terceiro mês.

Vamos determinar a média geométrica dos aumentos, mas para isso as taxas percentuais devem ser transformadas em taxa unitárias, observe:

15% = 1,15
12% = 1,12
21% = 1,21

O valor 1,1594 corresponde a taxa média de 15,94% de todos os aumentos sucessivos. Isso indica que se aplicarmos três vezes consecutivas a taxa de 15,94% corresponderá ao aumento sucessivo dos percentuais de 15%, 12% e 21%.

Suponhamos que o salário reajustado seja de R$ 600,00. Acompanhe os aumentos utilizando as duas opções de reajustes:

1ª opção

600,00 + 15% = 690,00
690,00 + 12% = 772,80
772,80 + 21% = 935,09

2ª opção

600,00 + 15,94% = 695,64
695,64 + 15,94% = 806,53

3. Qual a média geométrica entre os números  1, 2 e 4:

4. Calcule a média geométrica entre os números 2, 4, 5 e 10.

                                                        A MEDIANA

A mediana é o valor do item central caso o número seja impar das série quando estes são arranjados em ordem, Já em outro caso do número de itens ser par a mediana é a semi-soma dos dois valores mais central. Em teoria da probabilidade e em estatística, a mediana é uma mediada de tendência central, um número que caracteriza as observações de uma determinada variável de tal forma que este número (a mediana) de um grupo de dados ordenados separa a metade inferior da amostra, população ou distribuição de probabilidade, da metade superior. Mais concretamente, 1/2 da população terá valores inferiores ou iguais à mediana e 1/2 da população terá valores superiores ou iguais à mediana.

A mediana pode ser calculada para um conjunto de observações ou para funções de distribuição de probabilidade.

Cálculo da mediana para dados ordenados

No caso de dados ordenados de amostras de tamanho n, se n for ímpar, a mediana será o elemento central . Se n for par, a mediana será o resultado da média simples entre os elementos e .

Exemplos

1.População com N° de Elementos Ímpar:

Para a seguinte população:

{1, 3, 5, 7, 9}

A posição da mediana será = (n+1)/2 = (5+1)/2 = 3

Logo, a mediana é o 3º elemento que é 5 (nesse caso, igual à média).

No entanto, para a população:

{1, 2, 4, 10, 13}

A mediana também é o 3° elemento, que portanto, vale 4 (enquanto neste caso, a média é 6).

2.População com N° de Elementos Par:

Na seguinte população:

{1, 2, 4, 8, 9, 10}

Não há um valor central, portanto a mediana é calculada tirando-se a média dos dois valores centrais (no caso, o 3° e 4° elemento).

Logo, a posição da mediana é = (4+8)/2 = 6 (e a média é 5,5).

3.Para descobrir qual a mediana da série { 2,4,5,7,8}  é só observar o valor central que neste caso é  5.

4. Para a série {3,5,8,10,15,21} os valores centrais são os números 8 e 10.

                   Solução: 8+10/2= 18/2 = 9

5.Para a série formada pelos valores {1,2,3,4,5} a mediana é o 3.

MÉDIA PONDERADA

Alguns calculos envolvendo média podem ser efetuados utilizando os critérios de média simples ou média ponderada. Na utilização da média simples, a ocorrência dos valores possui a mesma importância e no caso da média ponderada são atribuídos aos valores de importâancias diferentes.
Na média simples os valores são somados e divididos pela quantidade de termos adicionados. A média ponderada é calculada através do somatório das multiplicações entre os valores e pesos divididos pelo somatório dos pesos.

Exemplos
1.Na escola de Gabriel, a média anual de cada matéria é calculada de acordo com os princípios da média ponderada. Considerando que o peso das notas esteja relacionado ao bimestre em questão, determine a média anual de Gabriel sabendo que as notas em Matemática foram iguais a:

1º bimestre: 7,0        

2º bimestre: 6,0        
3º bimestre: 8,0      
4º bimestre: 7,5        

 média ponderada=(7,0*1+6,0*2+8,0*3+7,5*4)/1+2+3+4
 média ponderada=(7+12+24+30)/10

 média ponderada= 73/10

 média ponderada=7,3

A média anual de gabriel é correspondente a 7,3

2. Um colégio resouvel inovar a forma de calcular as médias finais de seus alunos.

1º bimestre teve peso 2.         
2º bimestre teve peso 2.
3° bimestre teve peso 3.
4° bimestre teve peso 3.

Vamos calcular a média anual de Ricardo que obteve as seguintes notas em historia.

1º Bimetre: 3                 Mp=(2*3+2*2,5+3*3,5+3*3)/2+2+3+3

2º Bimestre: 2,5               Mp=(6+5+10,5+9)/10

3° Bimestre: 3,5               Mp=30,5/10= 3,05

4º Bimestre: 3

3.buscando melhorar o atendimento ao usuário do sistema de saúde de um município, a prefeitura realizou uma pesquisa de rendimento satisfatório com 500 pessoas. As notas disponibilizadas aos entrevistados no intuito de avaliar o nível de satisfação compreendem as notas internas de 1 a 10. Veja os resulatados na tabela a seguir:

 






 








A média de satisfação dos usuários do sistema de saúde do município em questão foi igual a 5,o.

A MODA

É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.

Mo é o símbolo da moda.

.A Moda quando os dados não estão agrupados

-A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete. (ex. 1.)

-Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros. (ex. 2.)

-Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. (ex. 3.)

Exemplos

1. Na série {7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12} a moda é igual a 10.

2. {3, 5, 8, 10, 12} não apresenta moda. A série é a modal.

3. {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9} apresenta duas modas 4 e 7. A série é bimodal.

MÉDIA HARMÔNICA

Média harmônica é o inverso (recíproco) da média dos inversos (recíprocos) dos números, ou seja, a média harmônica equivale ao inverso da média aritmética dos valores inversos de N valores.

Exemplos

1. Calcule a média harmônica de 2, 6 e 8.

(1/19)/72=72/19
o resultado é aproximadamente 3,7894

Obs.:A média harmônica está relacionada ao cálculo matemático das situações envolvendo as grandezas inversamente proporcionais.
2. temos uma relação entre velocidade e tempo. Suponha que em uma determinada viagem, um carro desenvolva duas velocidades distintas, durante a metade do percurso ele manteve a velocidade de 50km/h e durante a metade restante sua velocidade foi de 60km/h. Determine a média da velocidade do veículo durante o percurso.

De acordo com a média harmônica temos a seguinte relação:

MH=n/(1/x¹+1/x²+1/x³+...+1/xn)
MH=2/(1/50+1/60)
MH=2*300/11
MH=600/11
MH é aproximadamente 54

A velocidade média do veículo durante todo o percurso será de aproximadamente 54km/h.

Caso calculássemos a velocidade média utilizando a média aritmética chagaríamos ao resultado de 55km/h. Esse valor mostra que a velocidade e o tempo de percurso nos dois trechos iguais seriam iguais. Mas precisamos considerar que no primeiro trecho o automóvel levou um tempo maior para o percurso, pois a velocidade era de 50km/h e no segundo trecho o tempo decorrido foi menor, devido a velocidade de 60km/h.

Nesse momento, observamos a relação inversa entre a velocidade e o tempo e para que não ocorra erro, é aconselhável nessas situações a utilização da média harmônica.

 

MEDIADAS DE DISPERSÃO

Variação ou dispersão é o grau com que os dados numéricos tendem a se espalhar em torno de um valor médio. Ou seja, medidas de dispersão são indicadores do grau de variabilidade demonstrada pelos indivíduos em torno das medidas de tendência central.
Variância
A variância, representada por s2, e é definida como o "desvio quadrático médio da média".
Note-se que como a variância mede os desvios em relação à média (ou seja, a diferença entre cada dado e a média) e avalia o grau de dispersão de um conjunto de dados.
Exemplos :
• Considere 3 amostras, A, B e C, com médias iguais, em que o comprimento de um órgão (em mm) foi anotado.

amostra soma média
A 160 162 165 168 172 175 1002 167
B 160 161 162 168 170 173 175 1169 167
C 160 162 163 164 165 167 170 171 173 175 1670 167

É importante notar que as amplitudes ( 175-160 = 15 ) e as médias (= 167) são iguais nas 3 amostras.

Para analisar a dispersão dos dados em torno da média, em cada amostra, obtém-se o desvio em relação à média (x – ) e as suas somas.

É importante notar que não há média dos desvios (x- ), porque a sua soma em cada amostra é sempre igual a zero.
Ressalte-se que apesar da dispersão dos dados em torno da média ser a mesma nos 3 grupos, a soma dos quadrados dos desvios (x - )2 é maior no grupo C, pois é o que possui maior número de dados.

Mas, para medir a dispersão dos dados em relação à média, deve-se usar a variância, ( s2), pois o valor obtido leva em consideração o tamanho da amostra.

A fórmula geral da variância é :

( s2) = soma de quadrados dos desvios / ( n - 1).


Como a mostra A tem 6 elementos a variância é assim calculada: 168 / 5 = 33,6.

Do mesmo modo, para a amostra B = 220/ 6 = 36,67 e para a amostra C = 228/9 = 25,33.

Fórmulas

Considerando uma série de N valores de uma variável x ( x1, x2, x3, x4, ... xn ), com média , a variância pode ser determinada por:
s2 = ( xi - )2 / (N - 1)
s2 = (xi2) - N 2 / (N - 1)
s2 = x2 - [( x)2 / N] / (N - 1)
Assim, a variância é a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um.

É importante notar que:

a variância nunca é negativa, porque os quadrados são sempre positivos ou nulos. Assim, a unidade de variância é o quadrado da unidade de observação. (Exemplo: a variância de um conjunto de alturas medidas em centímetros será dada em centímetros quadrados).

se todas as médias das amostras forem iguais, o valor da variância da média seria igual a zero.

quanto maior for a variância menor é o grau de concentração dos indivíduos na amostra
Exemplo:
Apenas como exemplo, suponha que duas amostras apresentaram os seguintes valores de largura de um órgão, em cm:
A = 8, 10, 12, 14 e 16
B = 4, 8, 12, 16 e 20
Cálculo da variância de dados puros
Quando se tem todos os dados individuais, ainda sem nenhum tratamento, portanto sem agrupamento em classes, pode-se obter o quadrado dos valores individuais e das duas somatórias.
Exemplo:
Considere 2 amostras, A e B, com 5 dados cada:
Amostras A B
x x2 x x2
8 64 4 16
10 100 8 64
12 144 12 144
14 196 16 256
16 256 20 400
Total 60 760 60 880

Pode-se calcular a variância do seguinte modo:
Variância A = s2A = x2 - [( x)2 / N] / (N - 1) = [760 - (602 / 5)] / 4 =
= (760 - 720) / 4 = 10

Variância B = s2B = x2 - [( x)2/ N] / (N - 1)
= [880 - (602 / 5)] / 4 = (880 - 720) / 4 = 40
Notar que na amostra A os indivíduos estão mais concentrados, distribuindo-se entre o valor mínimo = 8 e o máximo = 16
E, na amostra B estão mais dispersos (distribuindo-se ente 4 e 20).
Assim, na amostra A a variância ( s2A = 10) é menor que a da B ( s2B = 40).

Desvio Padrão
O desvio padrão é obtido simplesmente encontrando-se a raiz quadrada do valor obtido para a variância. É representado por s.
• Utilizando os dados do exemplo anterior:
sA = raiz s2 A = raiz 10 = 3,16
sB = raiz s2 B = raiz 40 = 6,32

No caso da variância lida-se com unidades ao quadrado, representando uma grandeza em duas dimensões.

Para ter uma medida da variabilidade ou dispersão usa-se o desvio padrão que tem a mesma unidade dos dados originais. É um desvio médio em relação à média do conjunto de dados.

É importante notar, portanto, que quando se fala de desvio padrão ou de variância, fala-se de medidas de dispersão, que diferem apenas por uma transformação matemática, ou seja, diferem somente em um ajuste de escala.

Pela sua própria definição nota-se que o desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e que, quanto maior for, indicará mais variabilidade nos dados e que maior será a dispersão deles...